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Présentation du cours Topologie
Elément de Topologie
Quand on regarde, de plus près, l’ensemble des nombres réels R, on s’aperçoit, très vite, que la majorité des notions topologiques telles que : limites, continuité, suites convergentes et suites de Cauchy, ont été définies à l’aide des intervalles ouverts et plus précisément à l’aide des trois propriétés métriques de la valeur absolue:
Pour espérer définir ces mêmes notions topologiques dans un espace autre que R, il est donc naturel de chercher à munir cet espace d’une métrique convenable qui possède les mêmes propriétés que la valeur absolue.
Espaces topologiques
Un autre regard, cette fois ci, vers les espaces métriques nous apprend que pour définir sur un ensemble quelconque E des notions topologiques telles que limite et continuité, on n’a pas vraiment besoin d’une distance ; une partie T de P(E) qui vérifie les trois propriétés (T1), (T2) et (T3) du paragraphe 1.7 suffit.
Soit E un ensemble non vide et T une partie de P(E).
Évidemment, on voit tout de suite que si (E, d) est un espace métrique, alors (E, Td) est un espace topologique.
Il existe des espaces topologiques qui ne sont pas métrisables, c’est-à-dire des espaces topologiques (E, T ) tels qu’ il n’existe aucune distance d définie sur E qui vérifie T = Td.
Voici un exemple:
Soit E un ensemble contenant au moins deux éléments, la partie de P(E), T = {∅, E} est une topologie sur E. C’est la plus petite (au sens de l’inclusion) topologie qui puisse être définie sur E. On l’appelle topologie grossière. Elle ne provient d’aucune distance.
La plus grande topologie qui puisse être définie sur E, est la topologie discrète T = P(E), mais elle, elle provient de plusieurs distances, en particulier de la distance discrète.
Limites et continuité
Les notions de limite et continuité jouent un rôle central en topologie. Elles permettent, en particulier, de montrer l’existence de plusieurs objets mathématiques.
Topologie produit
Soit E et F deux espaces topologiques. On appelle ouvert élémentaire de E × F toute partie de la forme O1 × O2, où O1 est un ouvert de E et O2 un ouvert de F.
La partie B formée de tous ces ouverts élémentaires est une base de topologie sur E × F et la topologie T qu’elle engendre s’appelle topologie produit.
Les ouverts de T sont donc les partie de E × F qui sont réunion d’ouverts élémentaires.
Ainsi, O ∈ T , si et seulement si, il existe une famille (Oα 1 )α∈I d’ouverts de E et une famille (Oα 2 )α∈I d’ouverts de F tels que O = [ α∈I O α 1 × Oα 2 ; ou encore : O ∈ T ⇐⇒ ∀(x, y) ∈ O, ∃B ∈ B, (x, y) ∈ B ⊂ O.
Espaces complets
Une suite (xn)n∈N d’un espace métrique (E, d) est dite de Cauchy, si :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N ∀ m ≥ N d(xn, xm) < ε.
Ce qui est équivalent, si on note pour tout n ∈ N Xn = {xk, k ≥ n}, au fait que la suite décroissante (diam(Xn))n∈N converge vers 0.
Ainsi, toute suite convergente est de Cauchy. Par contre, une suite de Cauchy n’est pas toujours convergente.
Plan du Cours
Chapitre I : Espaces métriques
- Définition et exemples d’espaces métriques
- Boules, ouvert fermé et voisinage
- Suites et fonctions dans les espaces métriques
- Espace métrique complet
- Prolongement des applications uniformément continues
- Définitions de compact et caractérisation par le théorème de Bolzano Weirstrass
- Fonction continue sur un compact, théorème de Heine
Chapitre II: Espaces topologiques
- Définition et exemples d’espaces topologiques
- Topologie induite : ouverts et fermés relatifs
- Intérieur, adhérence, frontière, point isolé, point d’accumulation
- Suites et fonctions dans les espaces topologiques
- Topologie produit
- Espaces compacts et localement compacts
- Espaces connexes
Chapitre III: Quelques théorèmes d’analyse
- Théorème du point fixe de Banach , exemples d’application
- Famille équicontinue, théorème d’Ascoli
- Théorème de Stone Weirstrass
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