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Présentation du Cours Analyse numérique 2
Introduction
Le but de ce cours est de présenter les méthodes d’approximation de solutions d’équations aux dérivées partielles (EDP) par différences finies en se basant sur le cas particulier de l’équation de la chaleur en dimension 1, puis de présenter les méthodes classiques d’analyse numérique matricielle pour la résolution des systèmes linéaires. Une bibliographie succinte se trouve en fin de document.
L’objet de la présente section est de motiver l’utilisation de ces méthodes, et d’introduire les notations et les propriétés de base utilisées.
EDP : exemples et rappels
Les EDP apparaissent dans tous les domaines des sciences et de l’ingénierie. La plupart d’entre elles proviennent de la physique, mais beaucoup interviennent aussi en finance et en assurance. Voici quelques exemples.
Déformation d’un fil élastique
Déformation d’un fil inélastique
Déformation d’une membrane élastique
L’équation de la chaleur en dimension 1
L’équation des ondes
Classification des EDP
On a vu qu’il existe des EDP de nature très différentes. La terminologie suivante permet de les distinguer.
Ordre de l’EDP Il s’agit du plus grand ordre des dérivées intervenant dans l’équation. Par exemple, l’quation de la chaleur et l’quation des ondes sont d’ordre 2, celle de la déformation du fil inélastique est d’ordre 4.
A propos des méthodes de discrétisation d’EDP
Les problèmes de type EDP sont infini-dimensionnels (il s’agit de déterminer toute une fonction). Si l’on veut calculer la solution numériquement, il faut se ramener à un problème en dimension finie. Deux grandes familles de méthodes sont utilisées.
Plan du Cours
Chapitre 1: Résolution numérique d’un système d’équations non linéaires
Méthode de Newton et variantes, méthode de point fixe. Etude de la convergence.
Chapitre 2: Approximation de valeurs et vecteurs propres
Méthode de la puissance itérée, méthode de la puissance inverse, méthode QR. Etude des cas de matrices symétriques et des matrices tridiagonales.
Chapitre 3: Méthode des différences finies en dimension 1 et 2
Problème de Cauchy et problèmes aux limites.
Chapitre 4: Introduction à la méthode des éléments finis en dimension 1
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