Cours de Mesures et Intégration PDF (L3 SMA S5) Gratuit

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Présentation du cours Mesures et Intégration

Rappel de notations

Ω Étant toujours un ensemble quelconque non vide ; P (Ω ) désigne la totalité de toutes les parties deΩ . Pour une famille (Ai) i ∈ I d’éléments de P (Ω ) on note.

Un ensemble est dénombrable s’il est équipotent à ℵ (ensemble des entiers naturels).

Exemple: Q et Z sont dénombrables, par contre P (ℵ ) n’est pas dénombrable.

Anneaux et Tribus

Ω Étant un ensemble quelconque non vide.
a) On appelle classe toute sous famille de P (Ω ).
b) On appelle anneau toute classe ℜ telle que :

A ∈ ℜ et B ∈ ℜ ⇒ A∪Β∈ℜ & Α−Β∈ℜ.

c) On appelle algèbre tout anneau qui contientΩ .
d) On appelle σ – anneau tout anneau stable par réunion dénombrable.
e) On appelle Tribu ou σ – algèbre tout σ – anneau contenantΩ. Les éléments d’une Tribu T sont appelés parties mesurables et la donnée du couple (Ω,T) constitue un espace mesurable
f) On appelle classe monotone toute classe stable par réunion dénombrable ( ↑ ) croissante et par intersection dénombrable décroissante ( ↓ ).

Engendrement

La construction d’une Tribu se fait en général à partir d’une partie génératrice. En effet : soit (M i)i ∈ I une famille de classes définies sur Ω . La classe
M = I i∈I M i = {A ⊆ Ω ∈ M ,∀i∈ I} i : A est une classe bien définie sur Ω, c’est la plus petite classe commune à toutes les Mi. Il est aisé de remarquer que si :

∀ i ∈ I, Mi est un anneau (respectivement une algèbre, σ – anneau, tribu, et classe monotone) alors la classe M est aussi et seulement si un anneau (resp. une algèbre, σ – anneau, tribu, et classe monotone).

Plan du Cours

CHAPITRE N° 1 : CLASSES D’ENSEMBLES ET PARTIES MESURABLES

1. RAPPEL DE NOTATIONS
2. ANNEAUX ET TRIBUS
3. ENGENDREMENT
4. STRUCTURE DES SEMI- ANNEAUX

CHAPITRE N° 2 : Mesures positives et mesures réelles

1. MESURES POSITIVES SUR UN SEMI-ANNEAU
2. MESURES POSITIVES DEFINIES SUR UN ANNEAU
3. MESURES EXTERIEURES ET PROLONGEMENT DE MESURES

CHAPITRE 3 : APPLICATIONS ET FONCTIONS MESURABLES

1. APPLICATIONS MESURABLES
2. TRIBUS INITIALES – TRIBU PRODUIT – TRIBU TRACE
3. FONCTIONS MESURABLES REELLES
4. FONCTIONS ETAGEES
5. FONCTIONS µ −MESURABLES

CHAPITRE 4 : INTEGRATION AU SENS DE LEBESGUE ET FONCTIONS INTEGRABLES

1. INTRODUCTION
2. INTEGRATIONS DES FONCTIONS ETAGEES POSITIVES
3. INTEGRATION DES FONCTIONS MESURABLES POSITIVES.
4. FONCTIONS POSITIVES INTEGRALES
5. CONSTRUCTION DE MESURE PRODUIT ET THEOREME DE TONELLY

CHAPITRE N° 5 : INTEGRATION DE LEBESGUE DANS M (Ω,T, K)

1. INTRODUCTION
2. APPLICATIONS DU THEOREME DE CONVERGENCE DOMINEE
3. INTEGRATION PAR RAPPORT A LA MESURE PRODUIT
4. LIEN ENTRE INTEGRALE DE RIEMANN ET INTEGRALE DE LEBESGUE

CHAPITRE N° 6 : LES ESPACES LС P (Ω, T, µ) & LP C (Ω, T, µ). (1≤ P ≤ +∞)

1. INTRODUCTION
2. SOUS ESPACES DENSES DANS LP C (Ω, T, µ)
3. ESPACE DUAL DE LP K (Ω ,T,µ) (µ EST σ – FINIE)

CHAPITRE N° 7 : PRODUIT DE CONVOLUTION

1. PRODUIT DE CONVOLUTION DE DEUX MESURES
2. PRODUIT DE CONVOLUTION DANS L1 (RN)
3. UNITES APPROCHEES DE L1 (RN)

CHAPITRE 8 : TRANSFORMATION DE FOURIER

1. Propriétés de type Fubini
2. Propriétés de type continuité sous signe intégral.
3. Théorème
4. Corollaire (formule d’inversion)

CHAPITRE N0 9 : INITIATION A LA THEORIE DES PROBABILITES

1. INTRODUCTION
2. CONCEPTS DE BASE ET LANGAGE PROBABILISTE
3. CONSTRUCTION DE QUELQUES ESPACES PROBABILISES
4. PROBABILITE CONDITIONNELLE ET INDEPENDANCE STOCHASTIQUE
5. QUELQUES FORMULES CELEBRES ET UTILES

CHAPITRE 10 : VARIABLES ALEATOIRES ET MODES DE CONVERGENCE

1. VARIABLES ALEATOIRES
2. TYPES DE VARIABLES ALEATOIRES
3. INDEPENDANCE DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES
4. LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES(BERNOULLI)
5. ETUDES DE QUELQUES TYPES DE CONVERGENCE DANS MR(Ω,T,P)

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