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Présentation du cours Calcul Différentiel
Introduction
Nous commençons par des rappels sur la notion de dérivée dans le cas le plus simple des fonctions à variables réelles et valeurs réelles.
Définition (fonction réelle dérivable)
Soit I un intervalle ouvert de R et f : I → R une fonction réelle.
On dit que f est dérivable en a ∈ I si et seulement si le rapport f(x) − f(a) x − a , admet une limite lorsque x tend vers a. Cette limite, comme toute limite de fonction si elle existe est alors unique ; on la note f 0 (a). Il s’agit ici d’un nombre réel. On dit que f 0 (a) est la dérivée de f en a. Si f est dérivable en tout point a de I, on en déduit une fonction I 3 a → f 0 (a) ∈ R, appelée fonction dérivée de f.
Remarquons que, dire que f est dérivable en a, équivaut `a dire qu’il existe un réel f 0 (a), tel que la fonction
tend vers 0 lorsque x tend vers a. Ceci revient encore `a dire qu’il existe un réel f'(a) et une fonction a : I → R qui tend vers 0 lorsque x tend vers a tels que :
∀x ∈ I : f(x) − f(a) − f'(a)(x − a) = (x − a)a(x)
Interprétation géométrique
Interprétation géométrique. f 0 (a) est la pente de la tangente au graphe de f au point (a, f(a)).
Définition (fonction à valeurs dans R 2 )
On dit que l’application f : Ω → R 2 est dérivable en a si et seulement si la fonction Ω\{a} 3 a 7→ 1 x − a [f(x) − f(a)] ∈ R 2 admet une limite en a dans R 2 (nécessairement unique et noté −→ f 0 (a)), ou de façon équivalente si et seulement si il existe un vecteur −→ f 0 (a) ∈ R 2 et une application a : Ω → R de limite nulle en a, tel que : ∀x ∈ Ω : f(x) − f(a) = −→ f 0 (a)(x − a) + |x − a|a(x)
Interprétation géométrique
1. Dans cette définition, la norme de R 2 intervient (la notion de limite dépend a priori de la norme choisie sur R 2 ), la notion de dérivabilité et de dérivée en un point dépend donc a priori de la norme que l’on se donne sur R2. Mais dans le cas de R 2 toutes les normes étant équivalentes, la dérivabilité et la dérivée de f en un point sont indépendantes de la norme choisie.
La définition de dérivabilité (∗∗) n’a plus de sens d`es que f est définie sur un espace vectoriel quelconque E, puisque dans ce cas le produit (x − a).→ f’ n’a plus de sens !
Le but de ce cours est de donner une notion pertinente de ”dérivée”, pour les applications `a variables dans un espace vectoriel normé E de dimension > 1. Pour cela, on remarquera que l’application L : K 3 x 7→ x. −→ f’ ∈ F est linéaire, sur ce modèle on remplacera donc dans le cas générale la définition (∗∗) par : ”il existe une application linéaire La : E → F, et une application pa : Ω → F qui tend vers 0F lorsque sa variable tend vers 0E, telles que :
Cependant, lorsque la dimension de E est infinie, il se peut qu’une telle application linéaire La ne soit pas continue en 0E. On réclamera alors, dans la d´efinition ci-dessus, afin qu’elle soit plus forte que la continuité de f en a, que l’application linéaire La soit continue.
Plan du Cours
Partie I : Espaces vectoriels normés et espaces de Banach
- Définition et exemples d’espaces vectoriels normés
- Espaces vectoriels normés de dimension finie
- Applications linéaires continues
- Applications multilinéaires continues
- Définition et exemples d’espaces de Banach
- Séries dans les espaces vectoriels normés et caractérisation de la complétude
Partie II : Calcul différentiel dans les espaces de Banach
- Définition et exemples d’applications différentiables
- Différentielle de la composée
- Différentielle d’une application à valeurs dans un espace produit
- Différentielle d’une application définie sur un espace produit, différentielle partielle
- Théorème des accroissements finis et ses applications
- Théorèmes des fonctions implicites et d’inversion locale
- Différentielle d’ordre supérieur
- Formules de Taylor
- Extremum
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