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Présentation du cours Algèbre 1: Généralités et Arithmétique dans Z
Objectif du cours
Acquérir les notions de base en : logique et langage des ensembles, relation et applications et arithmétique dans Z.
Dans ce cours
L’ensemble N
Naïvement, l’ensemble N des entiers positifs est l’ensemble des nombres
{0, 1, 2, 3, . . .}.
Il est muni d’une relation d’ordre total notée ≤ ; cela signifie que, si a, b et c sont trois entiers quelconques, on a
a ≤ b et b ≤ c =⇒ a ≤ c,
a ≤ a
a ≤ b et b ≤ a =⇒ a = b,
et on a toujours a ≤ b ou b ≤ a (Nous reviendrons sur les relations d’ordre dans le chapitre 3).
De façon plus rigoureuse, on peut d´emontrer que, a une bijection respectant l’ordre près, il existe un seul ensemble vérifiant les quatre axiomes suivants :
Axiome 1 L’ensemble N est totalement ordonné, c’est-a-dire muni d’une relation d’ordre totale. Axiome 2 Toute partie non vide de N a un plus petit élément. (Ceci veut dire : Pour tout x, y ∈ N, x ≤ y ou y ≤ x, et : pour toute partie A ⊂ N, ∃x ∈ A ∀y ∈ A : x ≤ y.) Axiome 3 L’ensemble N n’a pas de plus grand élément. Axiome 4 Tout élément N distinct du plus petit élément de N possède un “prédécesseur”.
Rappelons qu’un prédécesseur de x est un entier y ≤ x tel que ∀z ∈ N, tel que y ≤ z ≤ x,
on a z = x ou z = y ; on le notera x − 1 (on montrera en exercice qu’un prédécesseur est nécessairement unique).
Opérateurs logiques. Les objets de la logique sont les propositions. Une proposition est soit VRAIE soit FAUSSE. A partir de propositions P1 P2 ··· Pn , on peut construire au moyen d’un opérateur f , une nouvelle proposition :
Q = f (P1,P2,··· ,Pn)
La valeur logique de Q est donnée en fonction des 2n valeurs possibles de (P1 P2 ··· Pn), pour cela on utilise souvent une table à 2n entrées, dite table de vérité de l’opérateur f . Voici les opérateurs fondamentaux utilisés en logique.
Plan du Cours
Ch. I. Notions de logique et langage de base de la théorie des ensembles
Propositions. Connecteurs. Quantificateurs. Raisonnements logiques. Ensembles. Parties d’un ensemble. Opérations sur les ensembles. Recouvrement. Partition.
Ch. II. Relations binaires et Applications
Relations binaires, Relations d’équivalences. Relations d’ordre. Bornes supérieurs. Bornes inférieurs. Fonctions. Applications. Composée. Images directes. Images réciproques. Injections. Surjection. Bijection. L’ensemble N.
Ch. III. Arithmétique dans Z
Divisibilité dans Z. Division euclidienne. pgcd, ppcm. Numérotation. Algorithme d’Euclide. Théorème de Bézout, théorème de Gauss. Nombres premiers, décompositions en nombres premiers. Congruences. Anneau Z/nZ. Le corps Z/pZ . Indicateur d’Euler
Plan du cours 2
- Logique et ensembles
- Correspondances et Applications
- Relations binaires, Relations d’équivalence, Relations d’ordre
- Arithmétique dans Z
- L’anneau Z/nZ, et arithmétique modulaire
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