mardi, février 27, 2024
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Cours de Calcul Intégral et Formes Différentielles PDF (Analyse 6)

Télécharger gratuitement le cours complet de Calcul Intégral et Formes Différentielles PDF S4. Bachelor / Licence Mathématiques et Applications SMA (2ème année L2). Pour les TD, QCM, exercices corrigés, examens, livres… vous trouverez les liens au bout de cette page. Tout en PDF/PPT, Tout est gratuit.

Table des matières

    Présentation du Cours Calcul Intégral et Formes Différentielles

    Introduction

    Intégrales définies

    Soit f : I × [u, v] → R, une fonction intégrable par rapport à t ∈ [u, v] où I ⊂ R est un intervalle et u, v sont des fonctions de x ou des constantes. Soit F : I → R, définie par

    F(x) = Z vu f(x, t)dt.

    Proposition 1 Si f est continue sur I × [u, v] et si u, v sont continues sur [α, β], alors la fonction F est continue sur I.

    Proposition 2 (Formule de Leibniz). Si u, v sont dérivables sur I et si f, ∂f ∂x sont continues sur I × [u, v], alors la fonction F est de classe C 1 sur I et on a

    Formule de Leibniz

    Proposition 3 (Formule de Fubini). Si f est continue sur I×[u, v], I = [α, β], alors

    Formule de Fubini

    Intégrales généralisées

    Soit (x, t) 7−→ f(x, t) une fonction définie sur I × [a, b[, b ni ou infini. On considère le cas b = +∞, c’est-à-dire, les intégrales généralisées de la forme.

    intégrales généralisées

    dépendant d’un paramètre x ∈ I.

    Les résultats suivants sont valables aussi pour les autres intégrales généralisées de la forme

    intégrales généralisées

    dépendant d’un paramètre x ∈ I.

    Définition 4 On dit que l’intégrale généralisée Z +∞ a f(x, t)dt converge pour x ∈ I si et seulement si la limite

    intégrales généralisées

    existe. Autrement dit,

    intégrales généralisées

    (A(ε, x) dépend en général de ε et x).

    Définition 5 On dit que l’intégrale généralisée Z +∞ a f(x, t)dt converge absolument sur I si et seulement si Z +∞ a |f(x, t)|dt converge sur I.

    Les questions que l’on rencontre lors de l’étude des suites et séries de fonctions concernant la continuité, la dérivabilité et l’intégration, se posent aussi aux intégrales généralisées dépendant d’un paramètre. En l’absence d’hypothèses supplémentaires, les trois propositions précédentes ne sont plus valables pour le cas de ces intégrales. Par exemple, la fonction définie par

    intégrales généralisées

    n’est pas continue sur [0, 1] car
    F(x) = { 1 si x > 0 ; 0 si x = 0

    et pourtant la fonction f(x, t) = xe−xt est continue pour x ∈ [0, 1].

    Nous allons introduire la notion de convergence uniforme.

    Plan du Cours

    Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre

    Théorème de convergence dominée (suites et séries). Intégrale dépendant d’un paramètre (continuité et dérivabilité)

    1. Intégrales définies
    2. Intégrales généralisées
    3. Exercices

    Intégrales multiples

    Intégrale d’une fonction sur un pavé. Théorème de Fubini et applications. Intégrales doubles et triples et changement de variables. Applications aux calculs des surfaces et des volumes

    • Réduction des intégrales multiples (FUBINI)
      1. D est un pavé de Rn
      2. D est un borné (fermé) quelconque de Rn
    • Changements de variables dans les intégrales multiples
    • Exercices

    Formes Différentielles

    Définitions et généralités des formes différentielles de degré 1, 2 dans R^2 et R^3. Formes exactes et fermées. Théorème de Poincaré.

    Formes différentielles, intégrales curvilignes

    Longueur d’un arc, intégrale sur un chemin. Formule de Green–Riemann

    1. Généralités
    2. Produit extérieur
    3. Différentielle extérieure
    4. Formes fermées et formes exactes
    5. Transformée ou transposée des formes différentielles
    6. Formules de Green-Riemann, Stokes-Ampère et Gauss-Ostrogradski
    7. Exercices

    Calcul d’intégrales par la méthode des résidus

    Définition d’une fonction holomorphe. Formule de Cauchy. Théorème de résidus.

    1. Généralités
    2. Fonctions holomorphes, fonctions analytiques
    3. Intégration des fonctions holomorphes, théorèmes de Cauchy
    4. Séries de Laurent, points singuliers
    5. Fonctions méromorphes, théorème des résidus
    6. Applications du théorème des résidus au calcul d’intégrales
    7. Exercices

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    Cours complet d’Analyse 6: calcul intégral et formes différentielles

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    Mr. Nahli
    Mr. Nahlihttps://learnninja.net
    Salut! Je suis Med, Lauréat d'un Master en Biotechnologie. Depuis toujours j'aime partager l'information avec mes amis, C'est pour ça j'ai créé ce blog pour toucher tout le monde. Je vous aime. [MERCI POUR VOS COMMENTAIRE]
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